Нижегородский математик нашел формулу для уравнения Лиувилля спустя 190 лет

Старший научный сотрудник НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН Иван Ремизов предложил универсальную формулу аппроксимации решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, которые около 190 лет считались неразрешимыми в виде универсальных аналитических формул. Об этом сообщает пресс-служба вуза.

Исторически корни проблемы уходят к результатам Жозефа Лиувилля, который в XIX веке показал, что многие интегралы и решения дифференциальных уравнений нельзя выразить в элементарных функциях, что привело к распространённому представлению об отсутствии универсальных формул для целых классов задач. Новый результат Ремизова не опровергает эти теоремы, а расширяет арсенал допускаемых операций, используя предельный переход и операторные методы, что открывает возможности для применения в физике, в том числе в задачах, формулируемых через фейнмановские и квазифейнмановские интегральные формулы.​

Ремизов использовал метод аппроксимаций Чернова, разбивая эволюцию системы на последовательность простых шагов и описывая её с помощью операторных полугрупп. Он не стал спорить с Лиувиллем, а просто расширил набор инструментов. К стандартным математическим действиям учёный добавил ещё одно — нахождение предела последовательности. Это позволило записать явную формулу, в которую можно подставить коэффициенты a, b, c и g уравнения ay''+ by'+cy=g и получить сколь угодно точные приближения к его решению — функции y(x). На основе этих аппроксимаций он построил формулу для резольвенты дифференциального оператора, то есть для оператора, выражённого через коэффициенты уравнения, с последующим применением преобразования Лапласа. Скорость сходимости приближений к точному решению можно оценить с помощью результатов, которые Иван Ремизов получил вместе с коллегой Олегом Галкиным и опубликовал в журнале Israel Journal of Mathematics в 2025 году.

«Представьте, что искомое решение уравнения — это большая картина. Рассмотреть её сразу целиком очень трудно. Но математика умеет отлично описывать процессы, развивающиеся во времени. Результатом работы стала теорема, которая позволяет “нарезать” этот процесс на множество маленьких простых кадров, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать из этих кадров единую статичную картину — решение сложного уравнения, то есть резольвенту. Проще говоря, вместо того чтобы гадать, как выглядит картина, теорема позволяет восстановить её облик, быстро прокручивая “киноленту” её создания», — пояснил ученый.

Результаты работы опубликованы во Владикавказском математическом журнале.